Penjumlahan Vektor

Penjumlahan vektor (vector sum) dari dua buah vektor atau lebih, biasanya dapat dilakukan jika vektor-vektor tersebut memiliki besaran yang sejenis. Berikut ini akan dijelaskan beberapa metoda penjumlahan vektor.

Penjumlahan Vektor Dengan Metode Geometris

Penjumlahan vektor dengan metode ini, dilakukan dengan menyatakan vektor-vektor dalam sebuah diagram. Panjang anak panah disesuaikan dengan besar vektor (artinya harus menggunakan skala dalam pengambarannya), dan arah vektor ditunjukkan oleh arah ujungnya (kepalanya). Sebagai contoh, perpindahan sebesar 40 meter dalam arah timurlaut, bila digambarkan dalam skala 1 cm tiap 10 meter, dinyatakan dengan sebuah anak panah yang panjangnya 4 cm dan membentuk sudut 45O dengan garis yang mengarah ke timur dan ujung kepala anak panah terletak pada ujung kanan yang mengarah ke atas.

Sekarang jika terdapat dua buah vektor A dan B yang memiliki besar dan arah masingmasing seperti yang ditunjukkan oleh gambar dibawah, maka vektor R merupakan vektor hasil penjumlahan kedua vektor tersebut.

Jumlah Vektor A dan B

Aturan yang harus diikuti dalam penjumalahan vektor secara geometris adalah sebagai berikut : Pada diagram yang telah disesuaikan skalanya, mula-mula letakkan vektor A, kemudian gambarakan vektor B dengan pangkalnya terletak pada ujung A dan akhirnya ditarik garis dari panggak A ke ujung B yang menyatakan vektor hasil penjumlahan R. Vektor ini menyatakan pergeseran yang panjang dan arahnya setara dengan pergeseran berturutan A dan B. Cara ini dapat diperluas dalan hal yang lebih umum, untuk memperoleh jumlah beberapa pergeseran berturutan.

Simbol “+” pada gambar diatas memiliki arti yang sama sekali berbeda dengan arti penjumlahan dalam ilmu hitung atau aljabar skalar biasa. Simbol ini menghendaki sekumpulan operasi yang betul-betul berbeda. Berdasarkan gambar diatas, dapat dibuktikan dua buah sifat penting dalam penjumlahan vektor, yaitu ;

Hukum Komutatif :

A + B = B + A (5)

Hukum Asosiatif :

D + (E + F) = (D + E) + F (6)

Kedua hukum ini menyatakan bahwa bagaimanapun urutan ataupun pengelompokkan vektor dalam enjumlahan, hasilnya tidak akan berbeda. Dalam hal ini penjumlahan vektor dan penjumlahan skalar memenuhi aturan yang sama.

Penjumlahan Vektor Dengan Metode Jajaran Genjang

Penjumlahan dua buah vektor dengan menggunakan metoda jajaran genjang, dilakukan dengan cara menggambarkan kedua vektor tersebut saling berhimpit pangkalnya sebagai dua sisi yang berdekatan dari sebuah jajaran genjang. Maka jumlah vektor adalah vektor diagonal yang pangkalnya sama dengan panngkal kedua vektor penyusunnya. Nilai penjumlahannya diperoleh sebagai berikut :

C =

Dimana :

A = besar vektor pertama yang akan dijumlahkan
B = besar vektor kedua yang akan dijumlahkan
C = besar vektor hasil penjumlahan
θ = sudut terkecil antara vektor A dan B

Metode Jajaran Genjang

Penjumlahan Vektor Dengan Metode Analitik (Dua Dimensi)

Penjumlahan dua vektor dalam-dua dimensi, metoda geometris dan metoda jajaran genjang cukup memadai. Tetapi untuk kasus penjumlahan tiga vektor ataupun penjumlahan vektor dalam tiga dimensi seringkali kurang menguntungkan. Cara lain yang dapat digunakan untuk menjumlahkan vektor adalah metoda analitik. Dengan metoda ini, vektor-vektor yang akan dijumlahkan, masing-masing diuraikan dalam komponen-komponen vektor arahnya (lihat kembali “Komponen Vektor”). Jika R merupakan besar vektor resultan, maka besarnya adalah :

R =

Dimana :

R = besar vektor resultan
R_x = jumlah total vektor dalam arah sumbu x
R_y = jumlah total vektor dalam arah sumbu y

Dengan arah :

θ = tan^-1

Dimana θ adalah sudut yang dibentuk antara sumbu x dengan vektor resultan.

Selisih Vektor

Operasi pengurangan vektor dapat dimasukkan ke dalam aljabar dengan mendefinisikan negatif suatu vektor sebagai sebuah vektor lain yang besarnya sama, tetapi arahnya berlawanan, sehingga :

A – B = A + (- B)

Selisih Vektor

Penjumlahan dan Selisih Vektor Tiga Dimensi

Jika terdapat dua buah vektor tiga dimensi, yaitu vektor A dan B. Maka keduanya dapat dituliskan dalam komponen dan vektor satuan sebagai berikut :

A = A_xi + A_yj + A_zk          , dan
B = B_xi + B_yj + B_zk

Misalkan R adalah jumlah atau selisih dari dua buah vektor A dan B, maka :

R = A + B
R = (A_x + B_x) i + (A_y + B_y) j + (A_z + B_z ) k
R = R_xi + R_yj + R_zk

Dan selisih kedua vektor tersebut adalah :

R = A – B
R = (A_x – B_x) i + (A_y – B_y) j + (A_z – B_z ) k
R = R_xi + R_yj + R_zk